Bangun Ruang: Kubus dan Balok
MATERI MATEMATIKA Bangun Ruang: Kubus dan Balok Jenjang: Sekolah Dasar / Sekolah Menengah Pertama A. Pengertian Balok Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh 3 pasang sisi berhadapan yang berbentuk persegi panjang atau persegi. Sisi yang saling berhadapan pada balok memiliki ukuran yang sama besar. Ciri-ciri Balok • Memiliki 6 buah sisi (bidang) berbentuk persegi panjang. • Memiliki 12 buah rusuk. • Memiliki 8 buah titik sudut. • Memiliki 3 pasang sisi yang sama besar dan sejajar (saling berhadapan). • Setiap sudutnya berbentuk siku-siku (90°). Ciri-ciri Kubus Kubus adalah bentuk khusus dari balok, yaitu balok yang seluruh sisinya berbentuk persegi dengan ukuran sama panjang (panjang = lebar = tinggi = s). • Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi yang kongruen (sama besar). • Memiliki 12 buah rusuk yang sama panjang. • Memiliki 8 buah titik sudut. B. Rumus Kubus dan Balok 1. Kubus Volume (V): V = s × s × s = s³ Keterangan: s = panjang rusuk/sisi kubus Luas Permukaan (L): L = 6 × s² 2. Balok Volume (V): V = p × l × t Keterangan: p = panjang, l = lebar, t = tinggi Luas Permukaan (L): L = 2 × (p × l + p × t + l × t) Ringkasan Rumus Bangun Volume Luas Permukaan Kubus V = s × s × s = s³ L = 6 × s² Balok V = p × l × t L = 2 × (pl + pt + lt) C. Contoh Soal dan Pembahasan No Soal Pembahasan 1 Sebuah balok memiliki panjang 8 cm, lebar 5 cm, dan tinggi 4 cm. Hitunglah volume balok tersebut! V = p × l × t V = 8 × 5 × 4 V = 160 cm³ 2 Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 6 cm. Hitunglah volume dan luas permukaan kubus tersebut! V = s³ = 6³ = 216 cm³ L = 6 × s² = 6 × 36 = 216 cm² 3 Sebuah balok berukuran panjang 10 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 5 cm. Hitunglah luas permukaan balok tersebut! L = 2 × (pl + pt + lt) L = 2 × (60 + 50 + 30) L = 2 × 140 = 280 cm² D. Latihan Soal Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahamanmu! • Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 9 cm. Hitunglah volume dan luas permukaannya! • Sebuah balok memiliki panjang 12 cm, lebar 7 cm, dan tinggi 6 cm. Hitunglah volume dan luas permukaan balok tersebut! • Sebuah bak mandi berbentuk balok memiliki panjang 100 cm, lebar 60 cm, dan tinggi 50 cm. Berapa liter air yang dibutuhkan untuk mengisi penuh bak tersebut? (1 liter = 1.000 cm³) • Sebuah kubus memiliki luas permukaan 150 cm². Berapakah panjang rusuk kubus tersebut? • Jika volume sebuah balok adalah 240 cm³, dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm, berapakah tinggi balok tersebut? Catatan Penting • Satuan volume biasanya dinyatakan dalam cm³, m³, atau liter. • Satuan luas permukaan dinyatakan dalam cm² atau m². • Pastikan semua satuan panjang sudah sama sebelum dihitung (misalnya semua dalam cm).
TRANSFORMASI FUNGSI
MATERI PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB TRANSFORMASI FUNGSI Translasi • Refleksi • Rotasi • Dilatasi Jenjang: SMA/MA — Kelas XII Alokasi Waktu: 4 x 45 menit (2 pertemuan) A. Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran 1. Capaian Pembelajaran Peserta didik mampu memahami dan menerapkan konsep transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) terhadap titik, garis, kurva, maupun grafik fungsi, serta mampu menentukan hasil transformasi suatu fungsi secara aljabar dan geometris. 2. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat mendefinisikan pengertian translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi pada bidang koordinat. 2. Peserta didik dapat menentukan bayangan (hasil transformasi) suatu titik dan grafik fungsi akibat translasi. 3. Peserta didik dapat menentukan bayangan suatu titik dan grafik fungsi akibat refleksi terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis y = x, y = -x, dan titik asal. 4. Peserta didik dapat menentukan bayangan suatu titik dan grafik fungsi akibat rotasi dengan pusat O(0,0) dan pusat P(a,b). 5. Peserta didik dapat menentukan bayangan suatu titik dan grafik fungsi akibat dilatasi dengan berbagai faktor skala. 6. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi fungsi. B. Pendahuluan Transformasi geometri adalah suatu aturan atau fungsi yang memetakan setiap titik pada suatu bidang ke posisi titik lainnya pada bidang yang sama. Dalam konteks fungsi, transformasi digunakan untuk menggeser, mencerminkan, memutar, atau mengubah ukuran grafik suatu fungsi tanpa mengubah bentuk dasarnya. Terdapat empat jenis transformasi geometri dasar yang akan dipelajari, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian/perbesaran-perkecilan). Secara umum, jika titik A(x, y) ditransformasikan menjadi titik A'(x', y'), maka A' disebut sebagai peta atau bayangan dari titik A. C. Translasi (Pergeseran) 1. Pengertian Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan jarak dan arah tertentu tanpa mengubah bentuk, ukuran, maupun orientasi bangun. Translasi dinotasikan dengan T(a, b) yang berarti pergeseran sejauh a satuan searah sumbu-x dan b satuan searah sumbu-y. 2. Rumus Translasi Titik T(a, b) : (x, y) → (x + a, y + b) 3. Translasi pada Grafik Fungsi Jika grafik fungsi y = f(x) ditranslasikan oleh T(a, b), maka bayangannya adalah: y - b = f(x - a) atau y = f(x - a) + b Contoh 1: Tentukan bayangan titik A(2, -3) oleh translasi T(4, 1). Penyelesaian: A'(x + a, y + b) = A'(2 + 4, -3 + 1) = A'(6, -2). Contoh 2: Tentukan fungsi hasil translasi dari f(x) = x² oleh T(2, 3). Penyelesaian: y = f(x - 2) + 3, sehingga y = (x - 2)² + 3. D. Refleksi (Pencerminan) 1. Pengertian Refleksi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada suatu bidang menjadi bayangannya dengan sifat seperti pencerminan pada cermin datar, yaitu berjarak sama terhadap suatu garis atau titik cermin, namun berlawanan arah. 2. Rumus Refleksi Titik Cermin Rumus Bayangan Titik Rumus Bayangan Fungsi Sumbu-x (x, y) → (x, -y) y = -f(x) Sumbu-y (x, y) → (-x, y) y = f(-x) Garis y = x (x, y) → (y, x) x = f(y) atau y = f⁻¹(x) Garis y = -x (x, y) → (-y, -x) -x = f(-y) Titik asal O(0,0) (x, y) → (-x, -y) -y = f(-x) Garis x = h (x, y) → (2h - x, y) y = f(2h - x) Garis y = k (x, y) → (x, 2k - y) y = 2k - f(x) Contoh 3: Tentukan bayangan titik B(3, -5) jika dicerminkan terhadap sumbu-y. Penyelesaian: B'(-x, y) = B'(-3, -5). Contoh 4: Tentukan bayangan fungsi f(x) = 2x + 1 oleh refleksi terhadap garis y = x. Penyelesaian: bayangan diperoleh dengan menukar x dan y: x = 2y + 1, sehingga y = (x - 1)/2. E. Rotasi (Perputaran) 1. Pengertian Rotasi adalah transformasi yang memutar setiap titik pada suatu bidang terhadap suatu titik tertentu (disebut pusat rotasi) sejauh sudut tertentu (disebut sudut rotasi). Arah rotasi berlawanan arah jarum jam bernilai positif, sedangkan searah jarum jam bernilai negatif. 2. Rotasi dengan Pusat O(0, 0) Notasi rotasi sejauh sudut θ dengan pusat O ditulis R(O, θ). Rumus bayangan titik A(x, y) adalah: x' = x cos θ - y sin θy' = x sin θ + y cos θ Sudut Rotasi (Pusat O) Bayangan Titik (x, y) 90° (berlawanan jarum jam) (-y, x) 180° (-x, -y) 270° / -90° (y, -x) 3. Rotasi dengan Pusat P(a, b) Untuk rotasi sejauh θ dengan pusat P(a, b), rumus bayangan titik A(x, y) adalah: x' = a + (x - a) cos θ - (y - b) sin θy' = b + (x - a) sin θ + (y - b) cos θ Contoh 5: Tentukan bayangan titik C(4, 2) oleh rotasi R(O, 90°). Penyelesaian: (x, y) → (-y, x), sehingga C'(-2, 4). Contoh 6: Tentukan bayangan fungsi f(x) = x² oleh rotasi R(O, 90°). Penyelesaian: karena (x, y) → (-y, x), maka x' = -y dan y' = x, atau x = y' dan y = -x'. Substitusi ke y = x² diperoleh -x' = (y')², sehingga bayangannya adalah x = -y². F. Dilatasi (Perkalian/Perbesaran) 1. Pengertian Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun (memperbesar atau memperkecil) dengan faktor skala tertentu terhadap suatu titik pusat dilatasi, tanpa mengubah bentuknya. Dilatasi dinotasikan dengan D[P, k], dengan P sebagai pusat dilatasi dan k sebagai faktor skala. Sifat faktor skala k: • Jika k > 1, bangun diperbesar dan searah pusat dilatasi. • Jika 0 < k < 1, bangun diperkecil dan searah pusat dilatasi. • Jika -1 < k < 0, bangun diperkecil dan berlawanan arah pusat dilatasi. • Jika k < -1, bangun diperbesar dan berlawanan arah pusat dilatasi. 2. Dilatasi dengan Pusat O(0, 0) D[O, k] : (x, y) → (kx, ky) Bayangan grafik fungsi y = f(x) oleh dilatasi D[O, k] adalah: y/k = f(x/k) 3. Dilatasi dengan Pusat P(a, b) D[P, k] : (x, y) → (a + k(x - a), b + k(y - b)) Contoh 7: